ECDF — эмпирическая накопленная функция распределения. Для выбранного числа она показывает долю наблюдений, значения которых не больше этого числа. На горизонтальной оси расположен результат теста, на вертикальной — накопленная доля. Поэтому 60% у отметки 50 секунд не означает, что 60% участников показали ровно 50 секунд.
Такое определение, включая значения, равные порогу, приведено в документации функции ecdf пакета stats в R. При совпадающих результатах ступенька включает все такие наблюдения. Ни высоту скачка, ни накопленную долю не следует читать как среднее значение теста.
Два разных подсчёта для пяти результатов
Возьмём учебные данные в секундах: 40, 50, 50, 60, 80. Это не норматив и не данные выпускников.
Не больше 50 секунд: три наблюдения из пяти, то есть 60%.
Ровно 50 секунд: два наблюдения из пяти, то есть 40%.
Первое число читается по ECDF в точке 50. Второе относится к совпадающему значению, а не ко всей накопленной части. Если убрать один из двух одинаковых результатов как «дубль» без проверки, изменится состав данных и обе доли.
Наталья подписала ступеньку как «60% за 50 секунд»
В вымышленной ситуации тренер Наталья готовит отчёт по тесту группы. Каждый участник представлен одной выбранной попыткой. Увидев 60% в точке 50, она пишет: «Большинство показало 50 секунд» и опасается, что одинаковые значения означают ошибку секундомера.
Она возвращается к пяти исходным записям: один результат 40 и два результата 50 вместе дают накопленные 60%. Одинаковое время у двух разных участников сохраняется. Наталья меняет подпись на «60% наблюдений не больше 50 секунд» и отдельно показывает число участников. Теперь отчёт отвечает тому же вопросу, что график.
Позже ей присылают файл со всеми попытками каждого человека. Старую подпись «доля участников» нельзя просто оставить: часто тестировавшиеся люди будут представлены большим числом строк. Наталья сначала выбирает согласованное правило представления участника и заново строит график. Эта правка касается единицы подсчёта, а не автоматического удаления совпадающих чисел.
Что означает большее значение по горизонтали
Сама ECDF накапливается слева направо, но не определяет, какой результат лучше. В тесте времени меньшее число может означать более быстрое выполнение; при подсчёте выполненных повторений задача оценивается иначе. Чтобы написать вывод о результате, нужно знать смысл теста и единицы, а не только высоту линии.
Не превращайте распределение этой небольшой группы в норму для любого нового клиента. По нему также нельзя заключить, что программа вызвала наблюдаемое распределение: график описывает полученные значения, но не объясняет причину.
Если вопрос звучит «сколько результатов попало между 40 и 60», это не то же самое, что накопленная доля до 60. Для распределения по диапазонам пригодится разбор гистограммы результатов группы. У неё другой способ чтения и нужно отдельно указать границы интервалов.
Равное порогу значение включается? В рассмотренном определении R — да. Поэтому формулировка «меньше 50» не эквивалентна «не больше 50» на наших данных.
Можно сгладить ступеньки? Не выдавайте сглаженную линию за точный подсчёт исходных наблюдений. Для вопроса Натальи важны конкретные значения и совпадения, которые сглаживание может скрыть.